Od Newtona do Bransona - Tyrania wzoru Ciołkowskiego

Jeśli jesteś tu przypadkiem, to wiedz, że to druga część cyklu, który w możliwie najprostszej formie przybliża podstawowe kwestie związane z umieszczaniem ładunków na orbicie. Część pierwszą możesz przeczytać tutaj: Jak dostać się na orbitę.

Wiemy już, że kluczową kwestią w osiąganiu orbity jest prędkość. Teraz zajmijmy się czysto fizycznymi ograniczeniami, którym trzeba stawić czoła, by wysłać coś w kosmos co doprowadzi nas do jednego z rozwiązań jakim są rakiety wielostopniowe.

Z określeniem “The Tyranny of the Rocket Equation” po raz pierwszy spotkałem się w tekście Dona Pettita, amerykańskiego astronauty, który przed lotem w kosmos zdobył doktorat z inżynierii chemicznej. Zatem jak mało kto rozumiał to co działo się, gdy siedział zapięty pasami na pokładzie promu kosmicznego. W swoim artykule wyjaśnia, że wzór Ciołkowskiego (po angielsku określany mianem rocket equation) przekłada działanie zasad dynamiki Newtona na rakiety.

Silniki rakietowe korzystają z energii wyzwalanej przy spalaniu paliwa. Energia wiązań chemicznych w paliwie zostaje gwałtownie uwolniona, ciśnienie gazów w komorze spalania rośnie, kierowane są one w kierunku przeciwnym do pożądanego ruchu rakiety. Spalone paliwo stanowi tak zwaną masę reakcyjną. Gazy i rakieta odpychają się wzajemnie, a przy okazji masa rakiety maleje.

Wzór Ciołkowskiego wiąże ze sobą trzy kluczowe wartości. Pierwsza to pożądana idealna prędkość jaką osiągnie rakieta po zużyciu całego paliwa. Często określa się ją mianem delta V (ΔV) bo informuje o ile może zmienić prędkość rakiety (ułatwia to obliczanie gdzie można polecieć - na orbitę, Księżyc, Marsa itd, ale to temat na inną notkę). Mówimy “idealna” bo pomijamy tu takie drobnostki jak siła ciążenia czy opory powietrza. Druga zmienna w równaniu to prędkość gazów wylotowych, można ją też traktować jako miarę energii zgromadzonej w paliwie, często nazywanej impulsem właściwym). Trzecia to stosunek masy całej rakiety do masy paliwa. Wyrażona jako logarytm naturalny.

ΔV = v_e ln (m_całości/m_{bez_paliwa})

Może wyglądać groźnie, ale nie jest. Przynajmniej z matematycznego punktu widzenia. Z inżynierskiego jest cholernie groźnie. Matematycznie mamy tu dość proste mnożenie. Im większą prędkość osiąga spalane paliwo które wyrzucamy z dyszy, tym lepiej (szybciej) polecimy, prawda? Podobnie im więcej paliwa w ten sposób spalimy tym bardziej będziemy się mogli rozpędzić, prawda?

Haczyk tkwi w logarytmie. Macie prawo nie pamiętać jaki wykres tworzy logarytm, dlatego zamieściłem go obok. Jak widać nie wartości nie rosną liniowo ale… no cóż, logarytmicznie. Czyli bardzo powolutku. Innymi słowy jeśli dorzucimy do naszej rakiety drugie tyle paliwa wcale nie oznacza, że polecimy dwa razy szybciej. W końcu rakieta musi podnieść całe to dodatkowe paliwo, więc jest znacznie cięższa. A to jeszcze zanim uświadomimy sobie, że więcej paliwa to większy i cięższy zbiornik… Podwojenie paliwa zwiększy naszą deltę-V zaledwie o jakiś ułamek.

Żeby wejść na orbitę okołoziemską na wysokości powiedzmy 400 km musimy rozpędzić naszą rakietę do około 28 000 km/h to jest ponad dwudziestokrotność prędkości dźwięku. Fizyka ogranicza energię, którą można wycisnąć z paliw chemicznych. Najbardziej energetycznym jest mieszanka tlenu i wodoru. W idealnych warunkach 83% masy rakiety napędzanej w ten sposób musiałaby stanowić jedynie masa reakcyjna. W pozostałych 17% trzeba by zawrzeć silniki, zbiorniki, całą elektronikę, no i ładunek... Ale przecież warunki nigdy nie są idealne. Paliwo nie spala się idealnie, z dysz silników wylatuje stożek gazu, więc część ciągu się marnuje (więcej o tym w tekście Silnik wywrócony na lewą stronę), rakietę hamuje opór powietrza… Co za tym idzie stosunek paliwa do masy może zbliżyć się do 100%. A wtedy na orbitę możemy wysłać najwyżej paczuszkę orzeszków albo solidnie zestresowanego dziobaka. A to bez sensu.

Na szczęście na Ziemi mamy sprytnych inżynierów, którzy wymyślili rakiety wielostopniowe. Zamiast tylko dodawać paliwa w walce o ułamki prędkości końcowej, czemu nie zatknąć na czubku rakiety drugiej rakiety? W ten sposób, po spaleniu części paliwa możemy odrzucić zbędną masę w postaci zbiorników oraz silników, przystosowanych do pracy na niskich wysokościach i uruchomić silniki dopasowane do pracy w minimalnym ciśnieniu atmosferycznym lub w próżni.

Wspominałem w poprzedniej części, że nasza intuicja w kwestii lotów w kosmos bywa zawodna. Nic dziwnego, gdy niemal wszystkie słynne pojazdy kosmiczne w fantastyce są typu single-stage-to-orbit (SSTO). Startują z powierzchni i lecą sobie w kosmos. W rzeczywistości jednak wszystkie czynne rakiety, zarówno te prywatne jak i te budowane przez narodowe agencje kosmiczne są rakietami wielostopniowymi. Wszystkie podejścia do SSTO albo porzucono albo są w fazie rozwojowej.

Nawet z tymi wszystkimi sztuczkami rakiety kosmiczne z trudem toczą walkę z grawitacją Ziemi. Ładunek dostarczany na niską orbitę okołoziemską z reguły stanowi mniej niż 5% masy zatankowanej rakiety. Gdyby nasza planeta była trochę większa, jak dziesiątki już odkrytych planet pozasłonecznych, nie dałoby się skonstruować rakiety zdolnej do lotów w kosmos. A przynajmniej rakiety napędzanej paliwem chemicznym.

To wszystko na dziś. Po Newtonie i Ciołkowskim w trzeciej części cyklu przyjrzymy się temu co w ramach kombinowania ze stopniami wymyślił Virgin Orbit, część konglomeratu Richarda Bransona, oraz jak kombinowali i kombinują inni gracze.


Źródła:
The Tyranny of the Rocket Equation
Od Newtona do Bransona - Jak dostać się na orbitę
Silnik wywrócony na lewą stronę
Silnik z krążącą detonacją
Why Single Stage to Orbit rockets SUCK.